用CASIO计算器计算椭圆结构任意弧长的理论及方法

雷宏波¹  罗居刚² 

（1.广东水电二局股份有限公司，广东 增城 511340；2.安徽省水利科学研究院，安徽 蚌埠 233000）

摘  要：本文简炼讨论了计算任意一段椭圆结构弧长的理论和方法，举出实际应用例子，给出多组公式，可作解决同类问题之借鉴。

关键词：弧长；椭圆积分；CASIO fx-3900 Pv计算器；无穷级数；辛普生积分法

当前，为了追求建筑物外形时尚、新颖、美观，椭圆造型的应用越来越多，这给工程技术人员计算工程量带来了新难题。求椭圆全面积可查有关技术手册，套用现成公式；求部份椭圆面积，也可通过定积分并用莱布尼茨公式不难求得精确结果。但是求椭圆周长或弧长的问题就复杂些了。

1   椭圆周长公式的理论推导：

椭圆参数方程 ，

其中a—长半轴，b—短半轴， —离心角。

则有微分 ，

弧微分为                                 
由三角函数等式 ，消去一个三角函数，保留正弦函数或余弦函数得
                                         
再由椭圆性质 ，及椭圆离心率的定义 ，得
                                                                                              
或由倍角公式（降幂公式） ， ，消去（1）式中的三角平方项得
                                                                   
以上（1）~（4）任何一式，结合求曲线弧长的定积分公式均能得到椭圆周长的表达式，如用第（3）式得
                                      
令 ，则 ，当积分区间 时有 ，注意到积分与积分变量无关，故（5）式又可记为
                                                                                          

查阅有关数学手册知，积分 称为勒让德（Legendre）第二类椭圆积分，记为 ，其中k称为模数，该积分不可积（不能用有限个初等函数进行复合），但可以展开为无穷级数，但级数项仍含有定积分。特殊地，当 时，记为E、 ，其中 ，称为第二类完全椭圆积分，也是不可积的，展开为级数为：

                     
由（6）式可得椭圆周长公式为 ，只要将椭圆离心率e代入就可求出椭圆周长。

另，如果设 ，则，
                                                           
此式不再写出推导过程。为方便读者应用，再给出求椭圆周长的两个近似公式： ，或 。

2   椭圆任意一段弧长公式的理论推导：

设椭圆上两点 和 对应的离心角分别为 、 ，求 的弧长。

将P点坐标代入椭圆参数方程有 ，则P点的离心角为 。同理可求Q点的离心角 。用前述（1）~（4）任何一式并结合求曲线弧长的定积分公式均能求得 的弧长。

先考虑用第（4）式，得
             

如果用第（3）式，得
                                                            
令 ，则 ， ，故当积分区间 时有 ，注意到积分与积分变量无关，故（10）式又可记为
         

3   实际应用

求椭圆周长可看作是求任意一段弧长的特例。公式（9）~（11）中的定积分是无法采用莱布尼茨公式的，因为原函数不是初等函数。如果用数值积分到电脑上去计算，虽是一个已经解决的问题，但在实际应用中，要进行编程并在计算机中计算，却面临着以下问题：1、尽管这个数值积分的编程不算复杂，但愿意为此专门编程并调试的工程技术人员却不多。2、尽管有现成的程序可购买或网上下载，多为英文界面，要较快地获取并学习掌握并加以应用不方便。3、如果用AuoCAD作图并测算，这种方法比较花时间，且计算精度与划分的区段大小有关，难以估算误差。另外，如果是预算人员遇到这类计算问题，由于不少预算员对AutoCAD操作不够熟悉，所以也难以运用。4、计算机体积大，携带不方便。此外，专门为处理这样一个计算问题要启动和关闭计算机，开关机的时间也是人们不愿接受的。

考虑到CASIO计算器fx-3900 P_v及以上型号（程序计算器）也能进行积分计算，我们曾在此计算器上试算，方便实用，精度能满足工程需要。下面就以（9）式为例介绍这种办法。

读者先要熟悉CASIO fx-3900 P_v，从其说明书中知，储存器又叫寄存器、记录器，对同一个储存器又有一些不同的叫法，如：M-记录器、独立寄存器、变数储存器就是同一储存器；内容寄存器、常数储存器、统计寄存器是一组储存器，共六个，分别记为K1~K6。该计算器计算定积分使用辛普生法，将积分区间等分为N=2ⁿ等分，在每个等分区段上应用辛普生积分公式，即
，其中：步长
截断误差为

对（9）式， ， ，

如果按R_N计算式进行误差估算比较困难，因为求 在区间 的最大值不容易。 解析式很长，是分式且含三角函数开方。若通过求解 来考察 的极值点，显然解这个方程可行的办法也是用数值方法求近似解。仅管我们不能用截断误差公式来估计误差大小，但可以用计算精度来控制计算，即通过比较N=2ⁿ与N’=2ⁿ⁺¹两次计算结果的相对误差来衡量计算精度，这就是数值积分中判断何时中止迭代的方法。

4   程序模块及实例，注意事项

该例函数f(x)有两个参数a、b，由于该计算器在定义函数时不能使用常数储存器、KAC、ENT、HLT等功能，故每次只能定义一个确定的椭圆，即a、b已知。作为例子，设a=10, b=8，P、Q两点的横坐标分别为x₁=9，x₂=1，单位为米。则程序如表1：

表1  程序说明表

应用时的几点注意事项：

(1)“输入n”这个步骤可以省略，程序将自动确定n值。如果手动输入，则1≤n≤9。

(2)由于积分上下限是角度，所以应注意角度单位：度、弧度还是百分度。要在“进入∫dx状态”前设定计算器的角度单位，并在输入角度时采用相应的角度单位。

(3)本例积分的上下限是2×α的形式，不是一个简单值，而是要通过一定步骤的计算得出，注意在输入表达式时最外层的括号不可少。

此例经实算，如果让程序自动设定n值，则n=4，l=0.219 319；如果手动设置n值，取n=5，则l=0.219 318 6，两次迭代相对误差Δl=0.000 000 4。可见，尽管两次迭代并不能提高多少精度，但明显感到计算所用的时间长，而让计算器自动设置n值的计算结果足以满足工程的精度要求。

作者简介：雷宏波(1976-  )，男，水工建筑工程师，水利工程工程硕士，从事水利水电工程技术工作。

..................................《中国西部科技》学术 07年9月下.................................